تاریخ : شنبه 87/3/4 | 12:38 عصر | نویسنده : روح الامین
هذلولی
تعریف
هذلولی مجموعه نقاطی از صفحه است که تفاضل فواصل هر یک از آن ها از دو نقطه ی ثابت در صفحه مقدار ثابتی باشد.کاربرد
مسیر های هذلولوی در نظریه نسبیت اینشتین مطرح می شوند و اساس سیستم هوانوردی رادیویی لوران LORAN: Long Range Navigation - - نیز هستند. مسیر ستاره ی دنباله داری که به خورشید خودش بر نمی گردد، هذلولوی است ( احتمال اینکه سهموی باشد صفر است ).تلسکوپ های بازتابنده نظیر تلسکوپ 200 اینچی هاله 2 ، واقع در کوه
پالومار کالیفرنیا، و تلسکوپ فضایی ناسا که قرار بوده در 1988 به فضا
پرتاب شود، از آینه های هذلولوی کوچک، همراه با آینه های سهموی بزرگتر
استفاده می کنند.
معادله ی هذلولی
با در نظر گرفتن دو نقطه ی ثابت
و 
موسوم به کانون ها و مقدار ثابت 
، آن گاه نقطه ای چون 
بر هذلولی واقع است اگر و تنها اگر:
یا
معادله ی دوم نظیر معادله ی اول می باشد، با این تفاوت که به جای
، 
قرار گرفته است. لذا می توان در اولی نوشت 
، پس:
در این جا
منفی است زیرا تفاضل دو ضلع مثلث 
از ضلع سوم کوچکتر است یعنی 
. لذا 
مثبت است و یک ریشه ی دوم حقیقی مثبت دارد که آن را با 
نمایش می دهند، پس: 
بنابر این معادله ی هذلولی به صورت زیر خواهد بود:
که شبیه معادله ی بیضی است. اختلاف آن ها تنها در علامت منفی موجود در معادله ی هذلولی و رابطه ی جدید بین
، و 
است.
نکته 1: هذلولی نسبت به هر دو محور و نسبت به مبدا متقارن است و با محور
تقاطعی ندارد. در واقع هیچ بخشی از خم بین خطوط 
و 
قرار نمی گیرد.
نکته 2: فاصله های
و 
از روابط زیر به دست می آیند:
در این جا
از بزرگتر است و 
یا در سمت راست خط قرار می گیرد (یعنی
)، یا در سمت چپ خط ( یعنی
).
نکته 3 : وقتی
در سمت راست خط قرار داشته باشد رابطه ی 
و اگر در سمت چپ واقع باشد رابطه ی 
برقرار است.
مجانب ها
تعریف: اگر هم زمان با دور شدن نقطه ای چون ( واقع بر یک خم ) از مبدا مختصات، فاصله ی آن با خط ثابتی به سمت صفر میل کند، آن گاه چنین خطی را مجانب خم نامند.
هذلولی
دو مجانب دارد که عبارت اند از خط های 
.
چرا که عبارت سمت چپ معادله ی هذلولی را می توان تجزیه کرد و معادله را به صورت:
یا
نوشت.
الف) تحلیل معادله ی
نشان می دهد که یکی از شاخه های خم در ربع اول قرار داشته و تا بی نهایت امتداد دارد. اگر نقطه ی واقع بر این شاخه رفته رفته از مبدا دور شود، 
و بی نهایت می شوند و عبارت سمت راست معادله ی 
به صفر نزدیک می شود. پس طرف چپ هم باید همین وضع را پیدا کند. در نتیجه:
ب) وقتی
، مشاهده می شود که:
چون فاصله ی قائم بین خط و هذلولی وقتی
، به صفر میل می کند، فاصله ی عمودی بین نقاط هذلولی و خط 
نیز به صفر میل می کند. بنابراین از بندهای (الف) و (ب) نتیجه می شود که خط مجانب هذلولی است.
بنابر تقارن، خط
نیز مجانب این هذلولی است.
نکته: گاه مجانب را چنان تعریف می کنند که لازم است وقتی
، شیب خم به شیب مجانب نزدیک می شود. این تعریف نیز در این جا صادق است چرا که:
و این همان شیب مجانب
است.
معادلات متعارف هذلولی هایی که محورهایشان با محورهای مختصات موازی اند و مرکزشان در (h,k) واقع است:
الف) اگر خط گذرنده از کانون ها موازی با محور باشد:
معادله ی هذلولی:
راس ها:
کانون ها:
مجانب ها:
ب) اگر خط گذرنده از کانون ها موازی با محور
باشد:
معادله ی هذلولی:
راس ها:
کانون ها:
مجانب ها:
ج) معادلات دو بند فوق را می توان با انتقال
و 
و توجه به این مطلب که معادلات حاصل بر حسب مختصات پریم دار به صورت زیراند به دست آورد:
توجه کنید که در معادله ی مجانب مربوط به بند (I)،
بر و در معادله ی مجانب مربوط به بند (II) بر تقسیم می شود.
.: Weblog Themes By Pichak :.